Una demostración formal de la ecuación cuantitativa del dinero.

Introducción.

Una de las ecuaciones¹ básicas en teoría monetaria es la ecuación cuantitativa del dinero (no confundir con la teoría cuantitativa del dinero, que puede referirse a varias teorías económicas, principalmente a la desarrollada, entre otros, por I. Fisher y posteriormente M. Friedman (y los monetaristas de Chicago). Esta teoría establece hipótesis sobre las relaciones entre las distintas magnitudes que aparecen en la ecuación cuantitativa), que viene a decir que los cobros son igual a los pagos. Esto se expresa en su forma más simple como una de las dos ecuaciones,

PT=MV (Forma de transacciones)

PQ=MV (Forma de producción)

Siendo P el nivel general de precios, Q es la producción real, M la masa monetaria y V  la velocidad de circulación del dinero, T el número de transacciones (daremos definiciones precisas más abajo). Ciertos austríacos (afortunadamente, no todos), en su ceguera por criticar cualquier cosa que tenga matemáticas, han criticado esta ecuación. Primero porque es incapaz de explicar la formación de precios (cosa que no pretende hacer la ecuación, parecen estar confundiendo la ecuación cuantitativa con una teoría cuantitativa). Por otro lado, que las magnitudes no tienen sentido, i.e.,  que ni P, V, T tienen sentido por ser agregados de cosas heterogéneas (p.e., Rothbard: “MV=PT for the whole society is a false one. Neither P nor T can be defined meaningfully, and this would be necessary for this equation to have any validity” , Huerta de Soto: “Ahora bien, posteriormente se da un salto en el vacío al considerar que el segundo miembro puede representarse por PT, en donde «T» es un absurdo «agregado» que exige sumar cantidades heterogéneas de bienes y servicios intercambiados a lo largo de un periodo de tiempo, lo cual es imposible de llevar a cabo por no existir la necesaria homogeneidad entre los mismos.” ). Aunque haya ciertos posos de verdad en alguna de sus críticas (como veremos en las conclusiones), la ecuación cuantitativa es útil (aunque como es lógico, NO explica todo y es necesario mucho más análisis) por ser una ecuación que liga cuatro magnitudes esenciales: oferta de dinero, demanda de dinero, nivel de precios y producción/transacciones. En los siguientes apartados veremos como los conceptos que aparecen en la ecuación SÍ tienen sentido económico, todo ello a través de la demostración de las ecuaciones.

Por otro lado, otro problema suele venir a la hora de entender realmente qué significa cada término dentro de la ecuación,  ¿qué debe incluirse en M? ¿Qué mide V? ¿Qué nivel de precios hay que usar? ¿Índices Paschee, Laspeyres u otros? ¿Es la misma velocidad en ambas ecuaciones? ¿Y el mismo nivel del precios? Una forma de entenderlo de una mejor manera, de nuevo, es demostrar la ecuación. Procedamos a ello en los siguientes apartados.

Demostración formal (forma de transacciones)

Sea \lbrace m_j; j\in\mathcal{J} \rbrace un conjunto de cantidades monetarias tal que toda transacción se realiza con una suma de esas unidades monetarias (obviamente la existencia de ese conjunto está garantizada). Definiremos esto como conjunto de cantidades monetarias básicas. Formalmente, si a cada transacción monetaria le asociamos el subíndice i será:

\forall i\in\mathcal{I}\qquad p_it_i=\sum_{j\in\mathcal{J}_i}m_j

Siendo

  • \mathcal{I} el conjunto de índices asociado a las transacciones realizadas.
  • \mathcal{J}_i el conjunto de índices de las cantidades monetarias asociado a la transacción i-ésima.
  • p_i el precio por unidad de la transacción i-ésima.
  • t_i el número de unidades de la transacción i-ésima.

Por otro lado, por definición, tendremos que,

M:=\sum_{j\in\mathcal{J}}m_j

Y M corresponde a la suma de todas las unidades monetarias que utilizamos en las transacciones, lo que llamaremos masa monetaria. Lo que buscamos es una relación de magnitudes agregadas, por lo que procedamos a la suma²,

\sum_{i\in\mathcal{I}}p_it_i=\sum_{i\in\mathcal{I}}\sum_{j\in\mathcal{J}_i}m_j\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad (1)

Por la definición que dimos a t_i es claro que si llamamos T al número de bienes y servicios intercambiados durante el periodo de tiempo considerado tendremos;

\sum_{i\in\mathcal{I}}t_i=T

Para que esto aparezca en nuestra expresión, simplemente usaremos que \frac{\sum_{i\in\mathcal{I}}t_i}{\sum_{i\in\mathcal{I}}t_i}=1, por tanto,

\sum_{i\in\mathcal{I}}p_it_i=\frac{ \sum_{i\in\mathcal{I}}p_it_i}{\sum_{i\in\mathcal{I}}t_i}\sum_{i\in\mathcal{I}}t_i=\frac{ \sum_{i\in\mathcal{I}}p_it_i}{\sum_{i\in\mathcal{I}}t_i}T

El término \frac{ \sum_{i\in\mathcal{I}}p_it_i}{\sum_{i\in\mathcal{I}}t_i} es una media ponderada de precios por la cantidad de bienes de las transacciones, por lo que lo definiremos,

P:=\frac{ \sum_{i\in\mathcal{I}}p_it_i}{\sum_{i\in\mathcal{I}}t_i}

Ya hemos investigado lo que ocurre en el lado izquierdo de (1), pasemos al derecho. Este puede antojarse más complicado por aparece dos sumatorios y ser el segundo dependiente del primero, lo que les hace prima facie no intercambiables. Intentemos solventar eso con la introducción de deltas de Kronecker. 

\sum_{i\in\mathcal{I}}\sum_{j\in\mathcal{J}_i}m_j=\sum_{i\in\mathcal{I}}\sum_{j\in\mathcal{J}}(m_j\sum_{j'\in\mathcal{J}_i}\delta_{jj'})

Notemos que la igualdad se sigue porque si j\in\mathcal{J}_i, entonces, \exists! j'=j\rightarrow\delta_{jj'}=1 (para el resto será cero por ser único). Por otro lado, si j\notin\mathcal{J}_i, entonces todas las deltas son cero, y ese término no aparece en el sumatorio. Esto nos permite, ahora, poder cambiar el orden de los sumatorios:

\sum_{i\in\mathcal{I}}\sum_{j\in\mathcal{J}}(m_j\sum_{j'\in\mathcal{J}_i}\delta_{jj'})=\sum_{j\in\mathcal{J}}(\sum_{i\in\mathcal{I}}(m_j\sum_{j'\in\mathcal{J}_i}\delta_{jj'}))=\sum_{j\in\mathcal{J}}m_j(\sum_{i\in\mathcal{I}}\sum_{j'\in\mathcal{J}_i}\delta_{jj'})

Démonos cuenta de qué significa el término \sum_{i\in\mathcal{I}}\sum_{j'\in\mathcal{J}_i}\delta_{jj'}. En primera instancia, vemos que i,j' son índices mudos, por lo que solo dependerá del índice j. Por otro lado, su significado económico es el siguiente: supongamos que la unidad monetaria m_j “participa” en n_j transacciones. En ese caso, \exists\quad \mathcal{I}_j=\lbrace i\in\mathbb{N}/\sum_{j'\in\mathcal{J}_i}\delta_{jj'}=1\rbrace tal que \vert\mathcal{I}_j \vert=n_j ³ siendo el conjunto \mathcal{I}_j el máximo posible en el sentido de que cualquier otro \mathcal{I}'_j=\lbrace i\in\mathbb{N}/\sum_{j'\in\mathcal{J}_i}\delta_{jj'}=1\rbrace será tal que:

\forall\quad\mathcal{I}'_j\subseteq\mathcal{I}_j

Por tanto, tendremos:

\sum_{i\in\mathcal{I}}\sum_{j'\in\mathcal{J}_i}\delta_{jj'}=\sum_{i\in\mathcal{I}_j}\sum_{j'\in\mathcal{J}_i}\delta_{jj'}=n_j

Es decir, coincide con la cantidad de veces que se intercambia a lo largo del periodo. De ahí que pasemos a redefinirlo como la velocidad de circulación de esa cantidad “básica” monetaria,

v_j:=\sum_{i\in\mathcal{I}}\sum_{j'\in\mathcal{J}_i}\delta_{jj'}=\sum_{i\in\mathcal{I}_j}\sum_{j'\in\mathcal{J}_i}\delta_{jj'}

Con esto, nuestro lado derecho de la ecuación puede expresarse como:

\sum_{j\in\mathcal{J}}m_jv_j

Procediendo ahora del mismo modo a como hicimos en la parte izquierda de la ecuación, para que nos aparezca la cantidad M que definimos arriba,

\sum_{j\in\mathcal{J}}m_jv_j=\frac{\sum_{j\in\mathcal{J}}m_jv_j}{\sum_{j\in\mathcal{J}}m_j}\sum_{j\in\mathcal{J}}m_j=VM=MV

Habiendo definido,

V:=\frac{\sum_{j\in\mathcal{J}}m_jv_j}{\sum_{j\in\mathcal{J}}m_j}

Finalmente, obtendremos que:

MV=PT

Tal como queríamos demostrar.⁴

Propiedades de la ecuación y breve análisis de los conceptos definidos.

Al inicio del apartado anterior partimos de la existencia del conjunto \lbrace m_j; j\in\mathcal{J} \rbrace. Pero su existencia no es necesariamente única. Entonces, una proposición interesante a analizar es como varía la V ante cambios en el conjunto \lbrace m_j; j\in\mathcal{J} \rbrace. Veamos que V es invariante.

Sea \lbrace m_k; k\in\mathcal{K} \rbrace otro conjunto de cantidades monetarias básicas distintos a \lbrace m_j; j\in\mathcal{J} \rbrace (si no existiera tal conjunto, entonces la proposición quedaría ya probada, la velocidad es igual para todos los conjuntos de cantidades monetarias básicas, ya que solo hay uno). Por la definición de unidades monetarias básicas cumplirá,

\forall i\in\mathcal{I}\quad p_it_i=\sum_{\mathcal{K}_i}m_k\rightarrow \forall i\in\mathcal{I}\quad\sum_{k\in\mathcal{K}_i}m_k=\sum_{j\in\mathcal{J}_i}m_j \qquad (2)

Por la definición de V es directo que,

V'=\frac{\sum_{\mathcal{I}}\sum_{\mathcal{K}_i}m_k}{\sum_{\mathcal{K}_i}m_k}

Pero, \sum_{k\in\mathcal{K}_i}m_k=M , además de los visto en la ecuación (2), luego,

V'=\frac{\sum_{\mathcal{I}}\sum_{\mathcal{J}_i}m_j}{M}=V

Luego, V=V' (tal como era previsible al ser V la única magnitud de la ecuación que podría depender del conjunto igual a magnitudes que no dependen de este, V=\frac{PT}{M})

Hemos definido, para llegar a la ecuación cuantitativa dos cantidades de una manera similar,

V=\frac{\sum_{j\in\mathcal{J}}m_jv_j}{\sum_{j\in\mathcal{J}}m_j}

P=\frac{ \sum_{i\in\mathcal{I}}p_it_i}{\sum_{i\in\mathcal{I}}t_i}

Vemos que ambas tienen la forma de media, es decir,

<x>:=\frac{\sum_i n_ix_i}{\sum_i n_i}

En el caso de V estaríamos ante la media ponderada por la cantidad de dinero de la velocidad a la que circulan las cantidades monerarias básicas que definimos al inicio del epígrafe anterior, i.e., el número de transacciones medio al que pertenecen las cantidades básicas en el periodo de tiempo considerado. En el caso de sería una media de precios ponderada por el número de transacciones asociadas a ese precio.

Demostración formal de la ecuación en forma de producción.

Como vemos, una vez hecha la demostración, el resto de conceptos son relativamente sencillos. Esta ecuación no presenta problema teórico. El problema puede venir en la práctica cuando intentamos contabilizar en la realidad alguna de las magnitudes. Por ejemplo, ¿cómo medir el número de transacciones que se dan en la economía? Una solución a este problema es intentar expresar la ecuación (o alguna similar) en términos de otras variables que sí sean fáciles de medir como Q. La producción nominal de una economía (la llamaremos Y_n) es sabido que es igual a la suma de rentas⁵, i.e.,

Y_n=\sum_{i\in\mathcal{I}}Y_i

Suponiendo ahora, de manera análoga a como ya hicimos en la anterior demostración, que \lbrace m_j; j\in\mathcal{J} \rbrace son las cantidades monetarias básicas  (de renta) tendremos:

Y_i=\sum_{j\in\mathcal{J}}m_jn_{ji}

Siendo n_{ji} el número de veces que entra m_j en la renta i-ésima.  Introduciendo, de nuevo y de manera análoga (aunque ahora de otra forma sin usar deltas de Kronecker, para ver otras formas de hacerlo), el concepto de velocidad (ahora velocidad renta),

\sum_{i\in\mathcal{I}}Y_i=\sum_{i\in\mathcal{I}}\sum_{j\in\mathcal{J}}m_jn_{ji}=\sum_{j\in\mathcal{J}}m_j v_j

Siendo, v_j:=\sum_{i\in\mathcal{I}}n_{ji} el número de veces que entra la cantidad j en alguna renta. Entonces,

\sum_{j\in\mathcal{J}}m_j v_j =\frac{\sum_{j\in\mathcal{J}}m_j v'_j }{\sum_{j\in\mathcal{J}}m_j }\sum_{j\in\mathcal{J}}m_j =MV

Finalmente, si descomponemos la producción nominal en el deflactor del PIB (P) y el PIB real(Y), por definición del deflactor tendremos,

Y_n=PY

Luego, finalmente tendremos:

MV=PY

Es decir, la ecuación cuantitativa en forma de producción. Es esencial notar que NO solo cambia Y por T, sino que tenemos que redefinir las otras magnitudes y no necesariamente van a coincidir, por ejemplo, tendremos ahora distinto índice de precios (aquí tenemos un índice Paasche). De hecho, a la velocidad definida aquí suele denominarse velocidad renta y a la anterior, velocidad transacciones. Es usual presentar esta ecuación en los libros de macroeconomía (p.e., Mankiw, Samuelson, Froyen)  definiendo simplemente la velocidad como V:=\frac{PQ}{M}, entonces, la ecuación cuantitativa es una mera definición. La idea en este texto es deducir la ecuación del tal manera que tengamos otra definición de V, y a partir de ahí, poder deducir que V=\frac{PQ}{M} (no partir de ello). Esto ayuda a una mejor comprensión de los términos que aparecen en la ecuación, porque tenemos una definición basada en cantidades “microeconómicas” y no en agregados macro.

Para finalizar este apartado veamos como podríamos pasar de la ecuación en forma de transacciones a la de producción. Es decir, parece razonable pensar que a mayor producción, mayor transacciones y viceversa. Esto se puede modelar en primera aproximación como una relación lineal, i.e., Q=kT siendo k una constante y k\leq 1. En este caso, la ecuación de transacciones se transforma en:

MV=PT\rightarrow MVk=PQ \rightarrow MV'=PQ

Con V':=kV. Es decir, en primera aproximación podríamos pensar que las dos ecuaciones son la misma, sin más que cambiar T\rightarrow QV\rightarrow V'.

Conclusión.

Como pretendíamos hemos demostrado formalmente las dos ecuaciones cuantitativas dando una mejor definición a los términos que ahí aparecen. Como ya comentamos, se requiere un análisis posterior, en el sentido de teorías que establezcan funciones entre las distintas magnitudes de la ecuación cuantitativa. Notemos que en este punto la velocidad de circulación, V, está relacionada inversamente con el atesoramiento de dinero y por tanto, con la demanda de dinero (p.e., si se demanda poco dinero, se atesorará menos, por tanto este circulará más “rápido”).

Por otro lado, sí hay parte de razón austriacos cuando dicen que esta ecuación no muestra bien los precios relativos. Pero de ahí no se deduce que:

  • a)La ecuación sea falsa.
  • b)No se pueda modificar la ecuación para incorporarlo.

De hecho, partiendo de las ecuación deducida aquí MV=\sum p_it_i, podemos agrupar el sumatorio según los productos (ciertos bienes de capital, servicios… esto lo representaremos por k) y expresarlo como,

MV=\sum p_it_i=\sum_{k\in\mathcal{K}}\sum_{i\in\mathcal{I}_k}p_it_i=\sum_{k\in\mathcal{K}}\frac{\sum_{i\in\mathcal{I}_k}p_it_i}{\sum_{i\in\mathcal{I}_k}t_i}\sum_{i\in\mathcal{I}_k}t_i

Y por tanto, definiendo P_k,T_k

MV=\sum_{k\in\mathcal{K}}P_kT_k

Problema de precios relativos resuelto, nótese que podemos hacer cualquier selección de \mathcal{K}. Pero, notemos que incluso la versión usual de la ecuación es útil para ciertos razonamiento teóricos donde es menos relevante la variación de precios relativos. De hecho, podríamos descomponer de manera análoga usando este formalismo, la oferta de dinero en varios agregados (efectivo, depósitos bancarios…) de una manera análoga enriqueciendo la ecuación. Es decir, la ecuación vista desde nuestro formalismo nos ofrece muchas posibilidades y puede ser la base para análisis más profundos en teoría monetaria.

Notas.

¹ Hay cierta confusión aquí en decir que es una identidad o una ecuación. Una identidad es una relación tal que \forall \textbf{x}\in \mathcal{D}, f(\textbf{x})=0, una ecuación (con solución) es \exists \textbf{x}\in \mathcal{D} / f(\textbf{x})=0. Por ejemplo, \sin(x)^2+\cos(x)^2-1=0 es una identidad, \sin(x)-1=0 es una ecuación. Entonces, ¿es una ecuación o una identidad? Depende del dominio considerado (\mathcal{D}) y de las cuales sean nuestras variables (\textbf{x}). Por ejemplo,si decimos que puede tomar cualquier valor, entonces es una ecuación. Si, sin embargo, se calcula usando la definición que damos aquí (y así con el resto de magnitudes), será una identidad (se dará para todos los (p_i,t_i)\quad o\quad (p_i,q_i), que en este caso serían los \textbf{x}.  Esta interpretación puede darse en la mayoría de ecuaciones. Por otro lado, criticar que por ser una identidad (como ciertos austríacos, como los de arriba) sea inútil es un error, p.e., \sin(x)^2+\cos(x)^2-1=0 es una identidad, pero no inutil, ya que permite relacionar variables de interés.

²  Notemos que NO estamos usando el convenio de sumación sobre índices repetidos o convenio de Einstein que es usado frecuentemente en cálculo tensorial.

³En ese caso, las barras verticales se refieren al cardinal del conjunto, que en esta situación de conjuntos finitos coincide con el número de elementos del conjunto.

⁴En realidad, en nuestra ecuación de la introducción aparece Q y no T, en los siguientes apartados veremos como pasar de T a Q.

⁵ Usamos mismos nombres para los conjuntos de índices, pero son distintos a los de la primera demostración.

About alvaro10ars

1994. Estudiante de Física con intención de ser físico teórico. Libertarian. Ateo.
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